Profils de pression dans les silos pour produits en vrac

Le stockage des produits en vrac est très différent de celui d’un liquide. L’écoulement des solides en vrac est spécifique, mais la pression qu’ils génèrent à l’intérieur d’un silo diffère également de la simple pression hydrostatique calculée pour les liquides. Cependant, comprendre comment se développe le profil de pression dans un silo, et quelle en est la valeur maximale, est absolument essentiel pour les concepteurs visant à produire un silo sûr pour un matériau donné. Cette page explique quel est le profil de pression habituel dans les silos de produits en vrac, comment il évolue selon que le silo est en remplissage, statique ou en décharge, et comment estimer (calculer) le profil de pression.

Notez que cet article est principalement qualitatif et que les équations fournies visent à modéliser approximativement les phénomènes observés en réalité. En aucun cas, il ne peut être considéré comme un guide de conception. Pour la conception détaillée d’un silo, la seule méthode acceptée consiste à se référer aux normes publiées (DIN, ISO, etc.).

Le calcul du profil de pression dans un silo nécessite la détermination préliminaire des propriétés d’écoulement des produits en vrac à l’aide d’un appareil de cisaillement (cellules de Jenike). Pour plus d’informations, veuillez consulter : Tests en cellule de cisaillement pour mesurer l’aptitude à l’écoulement : Guide étape par étape

1. Profils de pression dans les silos

Comment la pression se développe-t-elle dans un silo contenant des produits en vrac (granulés, pastilles, poudre, etc.) ?

1.1 Statique (pas d’écoulement)

La première chose à comprendre concernant la pression dans les silos est qu’il n’y a pas une seule pression à considérer, mais deux. En effet, la pression au sein de la masse de solides (pression verticale) est différente de la pression exercée sur les parois du silo (pression pariétale). Cette distinction est importante, en particulier lors de la conception des silos.

La pression n’est bien sûr pas constante dans le silo, mais elle est très différente de la première intuition qui consisterait à supposer qu’elle augmente linéairement avec la profondeur, comme c’est le cas en hydrostatique. Il est également fondamental de distinguer un silo dont le contenu est statique (pas d’écoulement) d’un silo en décharge (écoulement), car le profil de pression change radicalement.

En l’absence d’écoulement, le profil de pression dans un silo présente les caractéristiques suivantes :

• Il augmente avec la profondeur (hauteur depuis le sommet du silo).
• Son profil varie en fonction de la section du silo : le profil de pression dans la section verticale de la trémie est différent de celui dans la section conique (entonnoir).
• Dans la section verticale de la trémie, la pression n’augmente pas linéairement mais tend vers une asymptote.
• Dans la section conique (entonnoir), la pression augmente linéairement. Cependant, elle part de la pression au bas de la section verticale, ce qui signifie que la pression totale dans la section conique est bien inférieure à celle qui serait générée par le poids total des solides stockés. Cela s’explique par le fait qu’une partie du poids est en réalité supportée par les parois latérales.

1.2 Décharge (écoulement en cours)

Lorsqu’un écoulement se produit hors du silo, le profil de pression change radicalement. Un point de transition apparaît entre la partie supérieure du silo, où le profil de pression reste similaire à la situation statique, et la partie inférieure. La pression augmente fortement au point de transition (souvent situé près du début de l’entonnoir), puis diminue jusqu’à 0 près de la sortie du silo.

En présence d’écoulement, le profil de pression dans un silo présente alors les caractéristiques suivantes :

• La section verticale supérieure du silo a un profil de pression similaire à la situation statique.
• Le profil de pression change brusquement au niveau d’un point de transition.
• Pour les silos en écoulement de masse, le point de transition correspond à la jonction entre la section verticale (partie supérieure) et la section conique (entonnoir, partie inférieure).
• Au point de transition, la pression verticale et la pression pariétale peuvent augmenter de manière significative.
• En dessous du point de transition, la pression diminue jusqu’à 0 à la sortie.

1.3 Risques de rupture de silo

Il est très important de comprendre que la pression au point de transition peut être bien supérieure à celle calculée en conditions statiques. Cela signifie que le silo doit être conçu pour résister à ces pressions supplémentaires sur les parois près du point de transition. Dans le cas contraire, le silo finira par céder et se rompre. Il s’agit d’une cause très courante de défaillance des silos. L’ingénieur doit suivre les normes de construction appropriées pour calculer les pressions maximales que le silo devra supporter, même dans le cas d’un silo éprouvé mais devant, par exemple, manipuler un nouveau produit en vrac. De tels calculs doivent être effectués pour s’assurer que la conception reste adaptée aux nouvelles forces appliquées par les nouveaux produits en vrac.

Les sections suivantes présentent quelques bases sur le calcul de la pression dans les silos, mais ne sont en aucun cas suffisantes pour une conception et une construction détaillées. Seules les normes doivent être appliquées.

2. Calcul de la pression dans les silos : silos en écoulement de masse

2.1 Modèles et formules

Les modèles et formules présentés ici proviennent principalement de Jansen, Jenike et Walker, et sont rapportés dans [Shamlou].

2.1.1 Remplissage initial et stockage statique

2.1.1.1 Section verticale

Les pressions peuvent être modélisées grâce aux équations de Jansen :

P_{_v} = ρ_{_b}.g.A/μ.K.C[1-e^{-(K.μ.C/A).h)]}

P_{_p} = P_{_v}.K

K = (1-sin φ)/(1+sin φ) = tan²(π/4-φ/2)

Avec :

P_{_v} = Pression verticale dans la masse de produit
ρ_{_b} = Masse volumique apparente des produits en vrac
g = Accélération due à la gravité
A = Aire de la section transversale du silo
μ = Coefficient de frottement pariétal (tan φ_{_p})
K = Rapport entre la pression latérale et la pression normale dans le silo
C = Circonférence du silo
h = Hauteur
P_{_p} = Pression latérale sur les parois
φ = Angle de frottement interne
φ_{_p} = Angle de frottement pariétal

2.1.1.2 Section conique (entonnoir)

Les pressions peuvent être modélisées grâce aux équations de Walker :

P_{_v} = ρ_{_b}.g.[(P_{_v0}/ρ_{_b}.g) + h]

P_p = P_v.K

K = tan α / (tan φ_w + tan α)

Avec

P_v = Pression verticale dans le lit de produit
ρ_v = masse volumique apparente des solides en vrac
g = accélération due à la gravité
K = rapport entre la pression latérale et la pression normale dans la trémie ou le silo
h = hauteur
P_p = pression latérale sur la paroi
φ_w = angle de frottement sur la paroi
α = demi-angle de la trémie

Selon la littérature, ces équations tendent à surestimer la pression sur les parois

2.1.2 Pendant la vidange

2.1.2.1 Section verticale

Le pic de pression maximale sur la paroi, qui se produit lors de la transition entre l'état statique et dynamique des contraintes, peut être estimé grâce à :

P_p(max) = A.ρ_v.g/C tan φ_w[1-(R-Q).tan φ_w/Mⁱ]

K_h = ν/(1-ν)
S₀ = 1/(μ.K.(1-exp(-[μ.K.hs.C/A])))
R+Q = S₀-N → Q = S₀-N - R
N = 2ν/μM^2(i-1)
M = √(2(1-ν))
ν = K/(1+K) pour un écoulement axisymétrique
ν = (K+2-√(4-3K^²))/(2(K+1)) pour un écoulement plan
Z = H-hs/Mⁱ(A/C)
x = 2ⁱ sin(δ/1) - sin δ [sin (2β+α)/sin α + 1]
hs = 0,6H pour un écoulement axisymétrique
hs = 0,5H pour un écoulement plan

Avec

P_p = pression latérale sur la paroi
ρ_v = masse volumique apparente des solides en vrac
g = accélération due à la gravité
A = aire de la section transversale du silo ou de la trémie
μ = coefficient de frottement sur la paroi (tan φ_w)
K = rapport entre la pression latérale et la pression normale dans le silo ou la trémie
C = circonférence du silo ou de la trémie
h = hauteur
P_p = pression latérale sur la paroi
φ = angle de frottement interne
φ_w = angle de frottement sur la paroi
i = 1 pour un écoulement axisymétrique
i = 0 pour un écoulement plan
hs = hauteur à laquelle se produit le pic de pression maximale
H = hauteur du silo ou de la trémie

En dessous de la zone de transition, la pression est considérée comme égale au pic de pression maximale calculé ci-dessus, à des fins de conception. Au-dessus du point de transition et jusqu'au sommet du silo, la pression peut être estimée via la formule de Jansen (voir 2.1.1.1).

2.1.2.1 Section de trémie

Les équations suivantes peuvent être utilisées pour estimer la pression observée dans la section de trémie d'un silo pendant la vidange

P_v = ρ_v.g.h/(K₂-1)[1-(h₀/h)^K2-1] + P_v0(h/h₀)^K2

P_w = K₁*(ρ_b.g.h/(K₂-1)[1-(h₀/h)^K2-1] + P_v0(h/h₀)^K2)

K₁ = (1 + sin δ cos 2β)/[1- sin δ cos(2α + 2β)]

K₂ = 2(K₃-1)

K₃ = K₁[(tan α + tan φw)/tan α]

Avec

P_v = Pression verticale à l'intérieur du silo
ρ_b = densité des solides en vrac
g = accélération due à la gravité
h = hauteur
h0 = hauteur de la section convergente du silo
P_w = pression sur les parois latérales
P_v0 = pression de surcharge verticale au sommet de la trémie
α = angle de la trémie
β = angle entre la contrainte principale majeure et la normale à la paroi de la trémie
δ = angle effectif de frottement interne
φ_w = angle de frottement de la paroi

2.2 Limitations

Ces formules sont mentionnées à des fins d'explication des phénomènes de pression dans les silos. Elles permettent de représenter qualitativement les variations de pression et le fait que la pression pendant la décharge est totalement différente de la pression dans des conditions statiques. Cependant, elles ne sont pas très précises et ne doivent pas être utilisées telles quelles pour la conception de silos. La seule façon admissible de concevoir un nouveau silo est de suivre les normes, les codes de construction, avec des corrélations mises à jour et des facteurs de sécurité appropriés, par exemple :

• DIN1055, Charges de conception pour les bâtiments : Charges dans les silos, Deutsches Institut fur Normung, Berlin, Allemagne, 1987.
• AS3774-1996, Charges sur les conteneurs de solides en vrac, Association des normes australiennes, Sydney, Australie, 1996

3. Calcul de la pression dans les silos : silos à écoulement en entonnoir

Les silos à écoulement en entonnoir ont un modèle d'écoulement beaucoup plus complexe que les silos à écoulement massif, ce qui peut rendre l'estimation des pressions dans les silos difficile. Il y a en effet des zones d'écoulement, typiquement au cœur des silos, et des zones sans écoulement, sur les côtés, cependant ces frontières ne sont pas fixes, ce qui signifie que les parties statiques peuvent en fait s'écouler de temps en temps, ce qui signifie que la pression sur les parois peut alors changer de manière spectaculaire, passant de niveaux bas à des pressions très élevées. Il y a également différentes géométries pour les silos à écoulement en entonnoir qui entraîneront des modèles d'écoulement et des profils de pression différents.

• Pendant le remplissage et le stockage statique, la formule de Jansen peut être utilisée pour modéliser la pression dans le silo (voir 2.1.1.1)
• Pendant l'écoulement :
• Silos peu profonds (H/D < 2) : la zone active n'est pas en contact avec la paroi, aucun pic de pression n'est attendu, la formule de Jansen (voir 2.1.1.1) peut être utilisée
• Silos profonds (H/D > 5) : il y a un point de transition entre une zone au sommet du silo où l'écoulement est proche de l'écoulement massif, la pression peut alors être estimée grâce à l'équation de Jenike (voir 2.1.2.1). La pression en dessous du point de transition peut être supposée diminuer linéairement du point de transition à la sortie du silo. Le point de transition n'est pas aussi défini que pour les silos à écoulement massif et peut varier en fonction de la géométrie réelle du silo. La pression au point de transition peut être élevée et doit être estimée, [Shamlou] donne une formule à cet effet

4. Conclusions

La conception d'un silo se compose de plusieurs étapes. L'une des étapes consiste à définir l'angle et la taille d'ouverture de la trémie du silo, une autre étape consiste à calculer le profil de pression dans le silo afin que le calcul structurel du silo puisse être effectué correctement. Cette page donne quelques explications générales sur la façon dont les profils de pression se développent dans les silos, ainsi que quelques modèles de base, mais compte tenu du fait que des pressions importantes peuvent se développer dans les silos et entraîner leur rupture, les ingénieurs doivent toujours faire appel à une entreprise spécialisée qui peut utiliser les normes pour concevoir le silo de manière efficace.

Source

[Shamlou] Manipulation des solides en vrac, P.A. Shamlou, Butterworths, 1988